Superficies de referencia

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Hasta ahora hemos definido las coordenadas cartesianas de un punto en el espacio en un marco de referencia terrestre. Como la mayor parte de los fenómenos que queremos referenciar ocurren sobre la superficie de la Tierra es conveniente en algunas circunstancias adoptar una superficie de referencia que se parezca a la superficie de la Tierra. Miremos estas tres opciones:

  • La superficie topográfica de la Tierra: Extremadamente irregular y compleja. Tiene limites definidos por las altas cumbres y las depresiones del lecho oceánico. Es variable en el tiempo y su conocimiento resulta, aún hoy, imposible en detalle.
  • Una superficie equipotencial materializada por el nivel medio del mar y su continuación en el continente. Es una superficie física compleja que plantea el desafió de conocer la distribución de masas en el interior de la Tierra.
  • Una superficie puramente geométrica (matemática) que se parezca a la Tierra, por ejemplo una esfera o una elipse de revolución.

Nos quedaremos con la última por ser la más simple, y dejaremos para la geodesia y la gravimetría el estudio de la segunda. Adoptada una superficie geométrica podemos definir una nueva terna formada por dos versores ortogonales y tangentes a la superficie y uno perpendicular a la misma; a partir de esta nueva terna podemos pensar en las siguientes coordenadas.


 Topografía, geoide y elipside; tres posibles superficies de referencia
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Topografía, geoide y elipside; tres posibles superficies de referencia


Coordenadas geográficas

Adoptan a la superficie de la esfera como superficie de referencia; un punto P(x,y,z) queda representado por un conjunto de tres magnitudes, una lineal (métrica), la altura h, y dos angulares: la latitud \varphi; y el la longuitud λ;. Donde las variables \varphi, λ de la terna (\varphi,\lambda,h) tiene los límites -\pi/2 < \varphi < \pi/2, 0\leq \lambda <2\pi\ o -\pi < \lambda < \pi.

La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y su cero natural, el plano del ecuador terrestre. La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador y no tiene un cero natural, por el que se adopta uno arbitrario que pasa por un observatorio cercano a Londres (Greenwich). Las líneas de longitud constante se llaman círculos máximos y pasan por los polos, las líneas de latitud constantes se llaman paralelos y son círculos paralelos al ecuador. La altura mide la distancia lineal al punto, a partir de la superficie de la esfera, y en forma perpendicular a esta.

Si se considera R, el radio de la esfera, las relaciones de estas coordenadas con las cartesianas quedan expresadas así

x = (R + h)\,{\rm cos}\,\varphi\,\cos\lambda \qquad y = (R + h)\,{\rm cos}\,\varphi\,{\rm sen}\,\lambda\qquad z = (R + h)\, sen\varphi\

La función inversa F − 1 puede escribirse en términos de las relaciones inversas:


h = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}  - R\qquad  \varphi= \begin{cases} \arctan\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \sqrt{x^2+y^2}>0 \\ \pi/2 &  \sqrt{x^2+y^2}= 0 \\ \end{cases} \qquad \lambda=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{cases}


Tanto la latitud como la longitud suelen expresarse de varias maneras, por ejemplo para la ciudad de La Plata la latitud se puede expresar:

  • DMS -34:55:16.73 (grados:minutos:segundos)
  • DM -34:55.27883 (grados:minutos)
  • DD -34.9213138 (grados)
 Modelos esférico de la Tierra: Paralelos y meridianos)
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Modelos esférico de la Tierra: Paralelos y meridianos)


¿Cuanto mide un segmento de arco terrestre?

  • Segmento de arco en latitud
 Segmento de arco en latitud
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Segmento de arco en latitud

dm = R d\varphi \qquad \rightarrow \Delta m = R \Delta \varphi = R (\varphi_1 - \varphi_2)

Por ejemplo, un grado en latitud equivale a:

\Delta m = (6371Km) \left(1^\circ \frac{\pi}{180^\circ}\right) =  111.1949 Km.


  • Segmento de arco en longitud
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Segmento de arco en longitud

dm = r d\lambda \qquad \rightarrow \Delta m = r \Delta \lambda = r (\lambda_1 - \lambda_2)

Además, como r = R \cos \varphi tendremos entonces


\Delta m = R \cos \varphi (\lambda_1 - \lambda_2)

Como ejemplos, veamos a cuanto equivale un grado en longitud a la latitud de:

  • \varphi = 90^\circ

\Delta m = (6371 Km) \cos (90^\circ) \left(1^\circ \frac{\pi}{180^\circ}\right) = 111.1949 Km.

  • \varphi = 45^\circ

\Delta m = (6371 Km) \cos (45^\circ) \left(1^\circ \frac{\pi}{180^\circ}\right) = 58.4131 Km.

  • \varphi = 0^\circ

\Delta m = (6371 Km) \cos (0^\circ) \left(1^\circ \frac{\pi}{180^\circ}\right) = 0 Km.


Como vemos, un segmento de arco en longitud dependerá de la latitud del lugar.

Coordenadas geodésicas

Similares a las geográficas adoptan al elipsoide de revolución, una superficie más similar a la Tierra que la esfera al tener en cuenta el aplastamiento de la misma, como superficie de referencia. Sin observación alguna ya Newton había predicho que, debido a su rotación y su falta de rigidez perfecta, la Tierra debía tener un radio mayor en el ecuador que en los polos; esta propiedad es medida por la elipticidad o aplastamiento f\,\! que determinan cuanto se separa el elipsoide de la esfera

f= \frac{a-b}{a}.\,\!, un valor cercano a 1/300

También puede definirse la excentricidad como:

e^2=f(2-f)=\frac{a^2-b^2}{a^2}.\,\!

Usualmente el elipsoide se define a partir de semieje mayor ecuatorial a\,\! en metros y la inversa del aplastamiento 1/f\,\!, a continuación se listan algunos pocos elipsoides trascendentes.

Nombre Semieje mayor
(metros)
Inversa del aplastamiento,
1/f\,\!
Adoptado por
Esfera de 6371 km. 6 371 000 \infty Coordenadas geográficas
Elipsoide Internacional 1924 6 378 388 297.0 Campo Inchauspe 1969
WGS 84 6 378 137 298.257 GPS
IERS 2003 6 378 136.6 298.25642 ITRF

Otros elipsoides históricos son: Airy (1830), Clarke (1866), Clarke (1880), Helmert (1906), Hayford (1910), Nuevo Internacional (1967), América del Sur (1969), WGS-72 (1972), GRS-80 (1979), NAD 83 (1983), IERS (1989).


Las relaciones de estas coordenadas con las cartesianas quedan expresadas así


x = (R + h)\,{\rm cos}\,\varphi\,\cos\lambda \qquad y = (R + h)\,{\rm cos}\,\varphi\,{\rm sen}\,\lambda\qquad z = [R (1-e^2) + h]\,{\rm sen}\,\varphi\ \qquad R=\frac{a}{\sqrt{1- e^2 sen^2 \varphi}}


La función inversa F − 1 puede escribirse en términos de las relaciones inversas:


\varphi= \begin{cases} \arctan\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(1-\frac{N}{N + h}e^2\right)^{-1} \right) & \sqrt{x^2+y^2}>0 \\ \pi/2 &  \sqrt{x^2+y^2}= 0 \\ \end{cases} \qquad \lambda=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{cases}


h = \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\rm cos \varphi}\right) -N \qquad N = \frac{a}{\left(1- e^2 sen^2 \varphi \right)^{\frac{1}{2}}}

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